非正统代数及其关联的非正统逻辑

本文源于我们对一个简单但自然的问题的研究：“F 蕴含 T”能否与 F 和 T 不同？为此，我们引入了五种“非正统”代数，它们不仅在为这个问题提供肯定答案方面发挥主要作用，而且在与二元布尔代数 2 的相似性方面也扮演着重要角色。然而，它们在许多方面与 2 有着显著的差异。在本文中，我们将从代数和逻辑两个角度审视这五种代数。我们定义了 De Morgan 半 Heyting 代数簇的一个子簇，称为 RUNO1，并对其展开了初步研究，证明了 RUNO1 实际上是由这五种代数生成的簇。然后给出了该定理的几个应用。证明了 RUNO1 是一个判别簇，并且所有五种代数都是原始的。还证明了 RUNO1 的每个子簇都满足强融合性质以及满同态是满射（ES）的性质。证明了 RUNO1 的子簇格是一个包含 32 个元素的布尔格。还给出了 RUNO1 所有子簇的基。我们引入了一种称为 mathcal{RUNO1} 的新逻辑，并证明它可代数化，且簇 RUNO1 是其等价的代数语义。然后，我们给出了 mathcal{RUNO1} 所有 32 个公理化扩展的公理化系统，并推断出所有公理化扩展都是可判定的。本文最后提出了一些开放问题。