标志流形的普适嵌入与刚性现象

我们证明了标志流形的普适嵌入定理：每个标志流形均可嵌入到不可约经典标志流形中。该结果推广了 Takeuchi [30] 和 Nakagawa-Takagi [27] 的经典著名嵌入定理。借助该嵌入，我们为齐齐蒙克流形之间的全息等距嵌入建立了新的刚性现象。作为第一个直接结论，我们表明，一个 K"ahler-Ricci soliton 子流形在 $C \times \Omega$ 中是平凡的，其中 $C$ 为标志流形，$\Omega$ 为齐齐蒙克有界域。其次，我们表明，齐齐蒙克流形之间不存在弱相对关系：平坦空间、标志流形和齐齐蒙克有界域。若两个 K"ahler 流形共享（在局部等距下）一个复维数至少为二的公共 K"ahler 子流形，则称其为弱相对关系。我们的主要结果精确表明：若 $E$ 为（可能不定向的）平坦，$C$ 为标志流形，$\Omega$ 为齐齐蒙克有界域，则：$E$ 不是 $C\times\Omega$ 的弱相对；$C$ 不是 $E\times\Omega$ 的弱相对；$\Omega$ 不是 $E\times C$ 的弱相对。这在两个独立方向上扩展了 Loi-Mossa [22] 的刚性定理：我们从“相对”推广到更灵活的“弱相对”概念，并摆脱了之前对标志流形因子的“特殊”限制。该结果也统一了文献中以往的刚性结果，如 [5, 6, 7, 9, 12, 13, 32]。