群组 homology 的通用系数与 Mayer-Vietoris 序列

我们通过神经的紧凑支撑 Moore 复合物来研究充满性群组的同调. 设 $A$ 为拓扑阿贝尔群. 对 $n\ge 0$ 定义 $C_n(\mathcal G;A) := C_c(\mathcal G_n,A)$，并定义 $\partial_n^A=\sum_{i=0}^n(-1)^i(d_i)_*$。这构成了 $H_n(\mathcal G;A)$。该理论对连续 étale 同态保持函数性. 它与标准约化兼容，包括对饱和开闭子集的限制。在充满性情境下，它对 Kakutani 等价保持不变。我们重新证明了 Matui 类型的长正序列，并在链层上识别比较映射。对于离散 $A$，我们证明了自然的通用系数短正序列\n\n$$0\to H_n(\mathcal G)\otimes_{\mathbb Z}A\xrightarrow{\ \iota_n^{\mathcal G}\ }H_n(\mathcal G;A)\xrightarrow{\ \kappa_n^{\mathcal G}\ }\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}\bigl(H_{n-1}(\mathcal G),A\bigr)\to 0.$$ \n\n关键输入是链层同构 $C_c(\mathcal G_n,\mathbb Z)\otimes_{\mathbb Z}A\cong C_c(\mathcal G_n,A)$，将群组语句归约为自由复合 $C_c(\mathcal G_\bullet,\mathbb Z)$ 上经典代数通用系数定理。我们还隔离了非离散系数的扰因。对于局部紧致 totally disconnected Hausdorff 空间 $X$（具有紧开集基），$\Phi_X:C_c(X,\mathbb Z)\otimes_{\mathbb Z}A\to C_c(X,A)$ 的像恰为有限图像的紧凑支撑函数。因此，$\Phi_X$ 当且仅当每个 $f\in C_c(X,A)$ 有有限图像时为满射，且对于合适的 $X$，可构造紧凑支撑连续映射 $X\to A$ 具有无限图像。最后，对于饱和开闭覆盖 $\mathcal G_0=U_1\cup U_2$，我们构造 Moore 复合的短正序列，并推导出 $H_\bullet(\mathcal G;A)$ 的 Mayer-Vietoris 长正序列，用于具体计算。