实二次域的单位生成序 I. 类数界

二次域的单位生成序是形如 $\mathcal{O} = \mathbb{Z}[\varepsilon]$ 的序，其中 $\varepsilon$ 是该二次域中的单位。若序 $\mathcal{O}$ 是实二次域的最大序，则该二次数域必然具有受限的形式，即属于窄里肖-德热类型。然而，每个实二次域都包含无穷多个不同的单位生成序。它们被参数化为 $\mathcal{O} = \mathcal{O}_{n}^{\pm}$，具有二次判别式 $\Delta(\mathcal{O}) = \Delta_{n}^{+} = n^2 - 4$（对 $n \geq 3$）和 $\Delta(\mathcal{O}) = \Delta_{n}^{-} = n^2 + 4$（对 $n \geq 1$）。我们利用L.-K.华罗庚的一个结果证明了单位生成序的（宽或窄）类数满足 $\log |{\rm Cl}(\mathcal{O})| \sim \log \frac{1}{2}|\Delta(\mathcal{O})|$，当 $|\Delta(\mathcal{O})| \to \infty$ 时。由此我们推断出类数为1的单位生成二次序仅有有限多个，且类群为2-挠元的单位生成二次序也仅有有限多个。我们对所有类数为1的单位生成实二次序进行了分类。我们提供了 $\Delta \leq 10^{10}$ 时类群为2-挠元的二次单位生成序的数值列表，涵盖宽类群和窄类群。这些列表猜想对所有 $\Delta$ 是完备的。