三维齐性流形上拟Einstein度量的唯一性

本文旨在研究三维齐性Riemannian流形上拟Einstein结构的存在性与唯一性。为此，我们使用了Thurston所识别的三维流形的八种模型几何。首先，我们给出了等距群维数为4的三维齐性流形上拟Einstein度量的完整描述。此外，我们将证明在等距群为三维的$Sol^3$上不存在此类梯度结构。而且，我们证明了Berger球面带有非梯度的非平凡拟Einstein结构及相伴随的向量场，这表明Perelman的一个定理不能推广到拟Einstein度量。最后，我们证明了带有梯度拟Einstein结构的三维齐性流形要么是Einstein流形，要么是$\mathbb{H}^2_{\kappa} \times \mathbb{R}$。