Landau-de Gennes模型中点缺陷附近的均匀剖面

对于三维区域上的Landau-de Gennes泛函，\begin{equation*} I_{\varepsilon}(Q,\Omega):=\int_{\Omega}\left\{\frac{1}{2}|\nabla Q|^2+\frac{1}{\varepsilon^2}\left( -\frac{a^2}{2}\mathrm{tr}(Q^2)-\frac{b^2}{3}\mathrm{tr}(Q^3)+\frac{c^2}{4}[\mathrm{tr}(Q^2)]^2 \right) \right\}\,dx, \end{equation*} 众所周知，在适当的边界条件下，全局极小元$Q_\varepsilon$在$H^1(\Omega)$中强收敛于一个单轴极小元$Q_*=s_+(n_*\otimes n_*-\frac{1}{3}\mathrm{Id})$（沿某子列$\varepsilon_n\rightarrow\infty$），其中$n_*\in H^1(\Omega,\mathbb{S}^2)$是一个极小调和映射。本文进一步研究$Q_{\varepsilon}$在点缺陷核$x_0$附近的结构，该点$x_0$是映射$n_*$的奇点。主要策略是研究$Q_{\varepsilon_n}(x_n+\varepsilon_n y)$的爆破剖面，其中$\{x_n\}$经精心选取并收敛于$x_0$。我们证明$Q_{\varepsilon_n}(x_n+\varepsilon_n y)$在$C^2_{loc}(\mathbb{R}^n)$中收敛于一个切映射$Q(x)$，其在无穷远处表现为一个“刺猬”解，与$n_*$在$x_0$附近的渐近剖面一致。此外，该收敛结果意味着极小元$Q_{\varepsilon_n}$在点缺陷的$O(\varepsilon_n)$邻域之外可被Oseen-Frank极小元$n_*$很好地逼近。