多项式符号下的 2+1 维均匀周期反例：对 Carleson 收敛问题的挑战

在 2+1 维周期环境下的卡莱森收敛问题中，对离散算子 $i\, \partial_t u + P(D)u=0$，我们证明 Sobolev 指数 $d/(2(d+1))$ 对于任何非奇异多项式符号都是必要的，包括自然的 Laplacian 幂 $\Delta^k$。这与在欧几里得情形下已知的结果不同。在欧几里得情形下，对于符号 $P(\xi) = |\xi|^a$ 且 $a > 1$，指数 $d/(2(d+1))$ 是充分的，但我们尚不知道它是否也是必要的。