关于偏微分方程解的可串联性

设 ${\mathcal{D}}'({\mathbb{R}}^d)$ 表示 ${\mathbb{R}}^d$ 上分布的空间。对于线性偏微分方程 $p(\frac{\partial}{\partial x_1},\cdots, \frac{\partial}{\partial x_d}, \frac{\partial}{\partial t}) u=0$（简称为 $D_pu=0$），其对应的多项式 $p\in \mathbb{C}[\xi_1,\cdots, \xi_d,\tau]$，令 $S_p:=\{u\in C(\mathbb{R}, {\mathcal{D}}'({\mathbb{R}}^d)):D_pu=0\}$。若集合 $S_p$ 拥有“可串联性”属性，即若 $u_1,u_2\in S_p\cap C^1(\mathbb{R}, {\mathcal{D}}'({\mathbb{R}}^d))$ 且 $u_1(0)=u_2(0)$，则它们的串联 $u_1\& u_2$（定义为 $u_1(t)$ 当 $t\le 0$，$u_2(t)$ 当 $t\ge 0$）也属于 $S_p$。我们证明，对 $p=a_0+a_1\tau+\cdots+a_{d}\tau^{d}\in \mathbb{C}[\xi_1,\cdots, \xi_d][\tau]$，其中 $a_0,\cdots, a_{d}\in \mathbb{C}[\xi_1,\cdots, \xi_d]$ 且 $d\in \mathbb{N}$，当且仅当 $d=1$ 时，$S_p$ 拥有可串联性质。