选择性可分的变体 II：离散集以及收敛性和极大性的影响

一个空间 $X$ 被称为选择性可分的（R-可分的），如果对于每一列稠密子空间 $(D_n : n\in\omega)$，可以选取有限子集（相应地，单点子集）$F_n\subset D_n$，使得 $\bigcup_{n\in\omega}F_n$ 在 $X$ 中稠密。这些性质比可分性强得多，但在某些收敛性质存在时与之等价。例如，我们证明每个 Hausdorff 可分径向空间都是 R-可分的，并指出可分序列空间和可分 Whyburn 空间不一定是选择性可分的。一个空间被称为 \emph{d-可分}的，如果它有一个稠密的 $\sigma$-离散子空间。我们称空间 $X$ 为 D-可分的，如果对于每一列稠密子空间 $(D_n : n\in\omega)$，可以选取离散子集 $F_n\subset D_n$，使得 $\bigcup_{n\in\omega}F_n$ 在 $X$ 中稠密。尽管 d-可分空间通常也是 D-可分的（例如，线性有序 d-可分空间或层化空间就是这种情况），但我们提供了三个可数非 D-可分空间的例子。已知 d-可分性被任意乘积保持，并且对于每个 $X$，幂 $X^{d(X)}$ 是 d-可分的。我们证明 D-可分性甚至不被有限乘积保持，并且对于每个无限 $X$，幂 $X^{2^{d(X)}}$ 不是 D-可分的。然而，对于每个 $X$，存在一个 $Y$ 使得 $X\times Y$ 是 D-可分的。最后，我们讨论了在极大性存在下的可分性和 D-可分性。例如，我们证明（假设 ${\mathfrak d}=\mathfrak c$）存在一个极大的正则可数选择性可分空间，并且（在 ZFC 中）每个极大可数空间都是 D-可分的（而其中一些不是选择性可分的）。然而，没有极大空间满足 D-可分性的自然博弈论加强形式。