射影空间中定义域的一致界

我们对J. Doyle和J. Silverman关于$\mathbb{P}^{n}$上动力系统定义域的问题给出了肯定回答。我们证明，对于固定的$n$，存在常数$C_{n}$，使得每个动力系统$\mathbb{P}^{n}\to\mathbb{P}^{n}$定义在模域的一个次数$\le C_{n}$的扩域上。更一般地，同样的界适用于定义在$\mathbb{P}^{n}$上的任何“代数结构”，例如嵌入曲线、超曲面、代数环。作为推论，我们证明：如果$x\in X(k)$是某个具有商奇点的$n$维簇上的有理点，则存在次数$\le C_{n-1}$的域扩张$k'/k$，使得$x$提升为任意奇点解消的$k'$-有理点。