数域本原扩张个数的统一指数界

一个民间猜想断言存在常数 $c_n > 0$ 使得当 $X\to \infty$ 时 $\#\mathcal{F}_n(X) \sim c_n X$，其中 $\mathcal{F}_n(X)$ 是判别式以 $X$ 为界、次数为 $n$ 的扩张 $K/\mathbb{Q}$ 的集合。该猜想在 $n \leq 5$ 时已知成立，但即便存在绝对常数 $C\geq 1$ 使得 $\#\mathcal{F}_n(X) \ll_n X^C$ 这一更弱的猜想仍未知且似乎难以触及。在此，我们以两种方式在这一更弱猜想（我们称之为“统一指数猜想”）上取得进展。首先，我们将一般问题归约为研究 Galois 群为自然本原置换表示中几乎单群的数域相对扩张。其次，对几乎所有此类群，我们证明了此类扩张个数最强的已知上界。这些界解决了可解群、散在群、例外群以及有界秩经典群的统一指数猜想。