带结构的簇的模场

若 $X$ 是一个带有附加结构 $\xi$ 的簇，例如标记点、除子、极化、群结构等等，则可研究这对 $(X,\xi)$ 是否定义于模场之上。存在对“代数结构”的精确定义，其本质上涵盖了所有明显的具象例子。我们证明了关于代数结构的若干形式化结果。这些结果可立即应用于曲线与 $\mathbb{P}^{2}$ 中有限点集的模场研究，但其结论完全一般。固定 $G$ 为 $X$ 的一个有限自同构群，一个 $G$-结构是指自同构群等于 $G$ 的代数结构。首先，我们证明 $X$ 上的 $G$-结构与 $X/G\dashrightarrow\mathcal{B} G$ 的扭曲形式（twisted forms）一一对应。其次我们表明，在某些假设下，$X$ 上的每个代数结构等价于某个 $0$-圈所给的结构。第三，我们给出用于检验未定义于模场上的 $G$-结构存在的上同调判据。第四，我们识别出关于 $G$ 在 $X$ 上作用的几何条件，其确保每一个 $G$-结构都定义于模场之上。