$\mathfrak{sl}_N$的$II$型量子子群。$I$：局部模的对称性

本文是一对其旨在分类$\mathcal{C}(\mathfrak{sl}_{r+1},k)$范畴中大量$II$型量子子群的文章中的第一篇。在本工作中，我们对所有已知的$\mathcal{C}(\mathfrak{sl}_{r+1},k)$的$I$型量子子群的局部模范畴的辫化自等价进行分类。我们发现除四种情形外（直至水平-秩对偶）对称性均为非例外的。这些例外情形是orbifold $\mathcal{C}( \mathfrak{sl}_{2},16)_{\operatorname{Rep}(\mathbb{Z}_2)}$、$\mathcal{C}( \mathfrak{sl}_{3},9)_{\operatorname{Rep}(\mathbb{Z}_3)}$、$\mathcal{C}( \mathfrak{sl}_{4},8)_{\operatorname{Rep}(\mathbb{Z}_4)}$和$\mathcal{C}( \mathfrak{sl}_{5},5)_{\operatorname{Rep}(\mathbb{Z}_5)}$。我们在本工作中开发了若干技术工具。我们给出了$\mathcal{C}(\mathfrak{sl}_{r+1},k)$的orbifold量子子群的skein理论描述。我们此处的方法是一般的，所开发的技术将推广为任意辫化张量范畴的orbifold给出skein理论。我们还给出了$D$-$D$型正交水平-秩对偶的表述，其用于构造其中一个例外。最后我们揭示了二次范畴与orbifold的例外辫化自等价之间的意外联系。我们利用此联系构造了四个例外中的两个。在本文的续篇中，我们将利用已分类的辫化自等价来构造$\mathcal{C}(\mathfrak{sl}_{r+1},k)$范畴相应的$II$型量子子群。当与Gannon对$r\leq 6$的$I$型分类配对时，这将完成这些相同秩的$II$型分类。本文包含Terry Gannon的附录，其提供了关于$\mathcal{C}(\mathfrak{sl}_{r+1},k)$范畴中对象维度的有用结果。