来自扭转点的扭转

设 $p$ 为素数，$K$ 为包含 $p$ 次单位根 $\zeta_p$ 的数域，$d$ 为 $p$ 次方无剩余的整数，$L=K(\sqrt[p]{d})$。设 $E/K$ 为一个在 $K$ 上拥有完整 $p$ torsion 的椭圆曲线，$S,T \in E(K)[p]$ 为生成元。定义单胚类 $\xi_d : \operatorname{Gal}(\overline{K}/K) \to E$ 为\n\n$$\xi_d (\sigma)= \begin{cases} O, & \text{if } \sigma(\sqrt[p]{d})=\sqrt[p]{d}, \\ kS, & \text{if } \sigma(\sqrt[p]{d})=\zeta_p^k\sqrt[p]{d}, \end{cases}$$\n\n并记 $H_S^d$ 为对应单胚类 $\xi_d$ 的扭转。在本文中，我们构造函数域 $K(H_S^d)$ 的生成器 $z$ 和 $w$，并给出扭转的模型\n\n$$H_S^d\,:\ \alpha_{1}z^p+\alpha_2z^{p-2}w+\dotso+\alpha_{\frac{p+1}{2}}zw^{\frac{p-1}{2}}+\beta w^p+\gamma=0.$$\n\n我们也得到，只有有限多个整数 $d$ 时，扭转 $H_S^d$ 在局部完备。