亏格一曲线的二次扭

对于给定的不可约首一多项式$f(x) \in \mathbb{Z}[x]$（次数为4），我们考虑亏格一四次曲线${H\,:\, y^2=f(x)}$的平方自由整数$q$的二次扭$$H_q\,:\, qy^2=f(x).$$ 如果曲线$C$在实数域和每个素数$p$的$p$进数域中都有解（即$C(\mathbb{R})\neq \emptyset$且对所有素数$p$有$C(\mathbb{Q}_p)\neq \emptyset$），则称该曲线处处局部可解。令$L=\{q\in \mathbb{N} : q \text{是平方自由的且} H_q \text{是ELS}\}$表示使得$H_q$处处局部可解的正平方自由整数$q$的集合。对于实数$x$，令${L(x)= \#\{q\in L: q<x\}}$为$L中小于$x$的元素个数。此外，记$$F(s)=\sum_{n \in L} \frac{1}{n^s}$$为集合$L$对应的狄利克雷级数。本文中，我们得到$$L(x) = c_f \frac{x}{(\ln{x})^{m}}+O\left(\frac{x}{(\ln{x})^\alpha}\right)$$其中常数$c_f$、$m$和$\alpha$仅依赖于$f$，且满足$m<\alpha \leq 1+m$。我们还通过某些数域的戴德金ζ函数表达了狄利克雷级数$F(s)$。