定义在二元四次式上且处处局部有点的$\mathbb{Q}$上亏格一曲线的比例

我们考虑$\mathbb{Q}$上形如$z^2=f(x,y)$的亏格一曲线所占的比例，其中$f(x,y)\in\mathbb{Z}[x,y]$为二元四次形式（或更一般地，形如$z^2+h(x,y)z=f(x,y)$，其中$h(x,y)\in\mathbb{Z}[x,y]$亦为二元二次形式），且这些曲线处处局部有点。我们证明，按局部密度之积计算的这些曲线的局部可解比例约为75.96%。我们证明了在奇素数$p$处（对于广义方程，同一有理函数在每个素数处给出局部密度）的局部密度由关于$p$的固定9次有理函数给出。此外还进行了补充分析以严格估计实点处的局部密度。