有理构型问题与一个曲线族

给定$\eta=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}\in \text{GL}_2(\mathbb{Q})$，我们考虑亏格为一的曲线$$H_\eta:y^2=(a(1-x^2)+b(2x))^2+(c(1-x^2)+d(2x))^2.$$上的有理点个数。我们证明使得$H_\eta(\mathbb{Q})\neq\emptyset$的$\eta$之集合具有密度零，并且若存在有理点$(x_0,y_0)\in H_\eta(\mathbb{Q})$，则除非$a,b,c,d,x_0,y_0$的某个显式多项式为零，否则$H_\eta(\mathbb{Q})$是无限的。形如$H_\eta$的曲线自然出现在对$\mathbb{R}^n$中具有有理间距的点构型的研究中。作为展示该框架的一个例子，我们证明若$\mathbb{R}^2$中过原点的一条直线经过单位圆上的一个有理点，则其包含一个稠密点集$P$，使得从$P$到三点$(0,0)$、$(0,1)$与$(1,1)$的距离均为有理。我们还证明了关于一个有理数能否表示为有理直角三角形的斜率之和或积的一些结果。