代数的上循环扭曲

设 $A$ 为一个 $k$-代数，其中 $k$ 是代数闭域，$G$ 为一个有限阿贝尔群，且 $k$ 的特征不整除 $|G|$。若 $G$ 通过 $k$-代数自同构作用于 $A$，则该作用诱导出 $A$ 上的一个 $G$-分次，其与群的一个归一化2-上循环结合，可用于扭曲代数的乘法。此类扭曲既可以表示为Zhang扭曲，也可以用Hopf代数的语言表述。我们研究此类上循环扭曲，重点考察 $A$ 还具有连通分次结构且 $G$ 的作用尊重该分次的情形。我们证明在此类扭曲下许多性质得以保持；例如强Noether性质、有限整体维数以及Artin-Shelter正则性。上述概念随后被应用于4维Sklyanin代数 $A:=A(\alpha,\beta,\gamma)$。我们定义Klein四元群在 $A$ 上的一个作用，使得该作用限制于一个特殊的几何因子环 $B$（一个扭曲齐次坐标环）。这些代数的上循环扭曲分别记为 $A^{G,\mu}$ 和 $B^{G,\mu}$，它们与其未扭曲的对应物具有非常不同的几何性质。虽然 $A$ 具有由椭圆曲线 $E$ 和四个额外点参数化的点模，$A^{G,\mu}$ 仅具有20个点模（当与 $E$ 相关的自同构具有无限阶时）。$A$ 上的点模可用于构造 $A^{G,\mu}$ 上重数为2的胖点模，并且这些对象间存在对应于 $G$ 在 $E$ 上自然作用的轨道的同构。此外，环 $B^{G,\mu}$ 可以用Artin和Stafford对非交换曲线的分类来描述。