量子微分的扭转与 Planck 尺度 Hopf 代数

我们证明由两个由 cocycle 扭转相关的 Hopf 代数上的交叉模与双协变微分演算之间存在一一对应。特别地,对于作为经典群的 cocycle 形变量子化的量子群,其演算作为经典演算的形变量子化而得到。作为一个应用,我们分类了 Planck 尺度 Hopf 代数 $\C[x]\bicross_{\hbar,\grav}\C[p]$ 上的所有双协变微分演算。这是一个量子群,其 $\hbar\to 0$ 极限为某个经典但非 Abel 群上的函数,而 $\grav\to 0$ 极限为平坦空间量子力学。我们进一步研究该 Hopf 代数的非交换微分几何与 Fourier 理论,作为 Planck 尺度物理的玩具模型。该 Fourier 理论实现了一种类 T-对偶的自对偶。该非交换几何在 $\grav\to 0$ 时是奇异的,因此在平坦空间量子力学中单独不可见。