广义 $q$-Weyl 代数上的扭迹与正定形式

设 ${\mathcal A}$ 为广义 $q$-Weyl 代数，它由 $u$、$v$、$Z$、$Z^{-1}$ 生成，满足关系 $ZuZ^{-1}=q^2u$、$ZvZ^{-1}=q^{-2}v$、$uv=P\big(q^{-1}Z\big)$、$vu=P(qZ)$，其中 $P$ 为 Laurent 多项式。${\mathcal A}$ 上的 Hermitian 形式 $(\cdot,\cdot)$ 称为不变的，若对某个 $s\in {\mathbb C}$ 且 $|s|=1$ 以及所有 $a,b\in {\mathcal A}$，有 $(Za,b)=\big(a,bZ^{-1}\big)$、$(ua,b)=(a,sbv)$、$(va,b)=\big(a,s^{-1}bu\big)$。本文对广义 $q$-Weyl 代数上的正定不变 Hermitian 形式进行分类。