带对合的代数的混合 Witt 环

尽管第一类对合代数上的厄米形式没有自然的内积，我们描述了如何将两种 $\varepsilon$-厄米形式相乘得到基域上的二次型。这允许通过把双线性形式与 $\varepsilon$-厄米形式放在一起定义一个交换分次环结构，我们称之为带对合代数的混合 Witt 环。我们还描述了针对酉对合的这一构造的较弱版本，它仍定义一个环，但分次在 $\mathbb{Z}$ 上而非 Klein 群上。我们首先描述一个通用框架，用于从具有强对称性质的幺半范畴到模范畴的幺半函子定义分次环。然后我们给出这样一个强对称范畴 $\mathbf{Br}_h(K,\iota)$ 的描述，它编码了域 $K$ 上带对合代数的通常厄米 Morita 理论。因此我们可以将通用框架应用于 $\mathbf{Br}_h(K,\iota)$ 与 Witt 群函子来定义我们的混合 Witt 环，并推导其基本性质，包括用对合迹形式表示的对角形式乘积的显式公式、四元数代数情形的显式计算，以及相对于标量扩张的互反公式。我们打算在未来的文章中描述这些环的进一步性质，例如 $\lambda$-环结构，以及与 Milnor 猜想和厄米形式的符号理论的关系。