三对角核与左可逆算子及其在Aluthge变换中的应用

给定标量 $a_n (\neq 0)$ 和 $b_n$，$n \geq 0$，带宽为 $1$ 的三对角核（或称带状核）是定义在开单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的正定核 $k$：$$k(z, w) = \sum_{n=0}^\infty \Big((a_n + b_n z)z^n\Big) \Big((\bar{a}_n + \bar{b}_n \bar{w}) \bar{w}^n \Big) \qquad (z, w \in \mathbb{D}).$$ 这定义了一个再生核希尔伯特空间 $\mathcal{H}_k$（称为三对角空间），其由 $\mathbb{D}$ 上的解析函数组成，以 $\{(a_n + b_nz) z^n\}_{n=0}^\infty$ 为正交基。我们考虑 $\mathcal{H}_k$ 上的移位算子 $M_z$，并证明 $M_z$ 左可逆当且仅当 $\{|{a_n}/{a_{n+1}}|\}_{n\geq 0}$ 有远离零的下界。我们发现，与加权移位不同，Shimorin 的左可逆算子模型未能凸显移位的三角对角结构。事实上，上述核 $k$ 的三对角结构在 Shimorin 模型下保持不变，当且仅当 $b_0=0$ 或 $M_z$ 为加权移位。我们证明了关于核的三对角性不变性、Shimorin 模型以及正算子的具体分类结果。我们还发展了移位 Aluthge 变换的计算方法。奇怪的是，与直接的核空间技术相比，Shimorin 模型往往无法给出定义在三对角空间上移位的三角对角 Aluthge 变换。