作为紧算子加等距算子的三对角移位

设 $\{a_n\}_{n\geq 0}$ 和 $\{b_n\}_{n\geq 0}$ 为标量序列。假设对所有 $n \geq 0$ 有 $a_n \neq 0$。我们考虑三对角核（也称为带宽为一的带状核）为 $$k(z, w) = \sum_{n=0}^\infty ((a_n + b_n z)z^n) \overline{(({a}_n + {b}_n {w}) {w}^n)} \qquad (z, w \in \mathbb{D}),$$ 其中 $\mathbb{D} = \{z \in \mathbb{C}: |z| < 1\}$。记 $M_z$ 为对应于核 $k$ 的再生核 Hilbert 空间上的乘法算子。假设 $M_z$ 是左可逆的。我们证明 $M_z =$ 紧算子 $+$ 等距算子当且仅当 $|\frac{b_n}{a_n}-\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}|\rightarrow 0$ 且 $|\frac{a_n}{a_{n+1}}| \rightarrow 1$。