环面伯格曼核的离对角衰减

我们研究了维数为 $m$ 的紧致环面射影 \kahler 流形上丰富不变线丛的伯格曼核 $\Pi_{h^k}(z,w)$ 和贝雷津核 $P_{h^k}(z,w)$ 的离对角衰减。当度规为实解析时，$P_{h^k}(z,w) \simeq k^m \exp - k D(z,w)$ 其中 $D(z,w)$ 是 diastasis。当度规仅为 $C^{\infty}$ 时，该渐近式不能对所有 $(z,w)$ 成立，因为 diastasis 甚至未对所有靠近对角线的 $(z,w)$ 定义。我们证明对于一般的 $C^{\infty}$ 度规，只要 $w$ 位于 $z$ 的 ${\mathbb R}_+^m$-轨道上，就有 $P_{h^k}(z,w) \simeq k^m \exp - k D(z,w)$；而对于一般的 $(z,w)$，$\limsup_{k \to \infty} \frac{1}{k} \log P_{h^k}(z,w) \leq - D(z^*,w^*)$ 其中 $D(z, w^*)$ 是 $z$ 与将 $w$ 通过 $(S^1)^m$ 平移到 $z$ 的 ${\mathbb R}_+^m$ 轨道上的点之间的 diastasis，这补充了 Mike Christ 的负面结果（arXiv:1308.5644）。