$p-$Bergman 核与度量的若干性质

证明了对于 $1<p<\infty$，$p-$Bergman 核 $K_p(\cdot)$ 属于 $C^{1,1/2}$。对 $1\le p\le 2$，给出了离对角 $p-$Bergman 核 $K_p(\cdot,z)$ 与某加权 $L^2$ Bergman 核之间出人意料的关系。作为应用，我们证明对每個 $1\le p\le 2$，当超凸指数 $\alpha(\Omega)$ 为正时，$K_p(\cdot,z)\in L^q(\Omega)$ 对 $q< \frac{2pn}{2n-\alpha(\Omega)}$ 成立，且 $|K_s(z)-K_p(z)| \lesssim |s-p||\log |s-p||$。分别给出了 $2<p<\infty$ 时的反例。获得了 $2\le p<\infty$ 时 $p-$Bergman 度量的全纯截面曲率的最优上界。对有界 $C^2$ 域，证明了 Hardy 空间与 Bergman 空间满足 $H^p(\Omega)\subset A^q(\Omega)$，其中 $q=p(1+\frac1n)$。引入了所谓 $p-$Schwarz 容度的新概念。作为应用，给出了 $p-$Bergman 空间之间 Banach-Mazur 距离的上界，并证明对 $0<p\le 1$，$A^p(\Omega)$ 在 $L^p(\Omega)$ 中非 Chebyshev。对平面域，我们得到了 $p-$Bergman 核的刚性定理（在高维情形不成立），以及通过 Narasimhan-Simha 度量的完备性对非孤立边界点的刻画。