$\ell_1(\Z)$的平移不变预对偶

Banach空间$\ell_1(\Z)$具有许多非同构的预对偶，例如，对于任何紧可数空间$K$的$C(K)$，以及许多更奇特的Banach空间。在本文中，我们施加了一个额外条件：预对偶必须使$\ell_1(\Z)$上的双边平移是弱$^*$连续的。这等价于使$\ell_1(\Z)$上的自然卷积乘法是分别弱$^*$连续的，从而将$\ell_1(\Z)$转化为一个对偶Banach代数。我们称这样的预对偶为“平移不变的”。已知由$C_0(K)$（对于可数局部紧空间$K$）与$\ell_1(\Z)$之间的标准对偶性产生的唯一平移不变预对偶是$c_0(\Z)$。我们给出了一个显式构造，得到一族不可数的不同预对偶，它们确实使双边平移是弱$^*$连续的。利用Szlenk指标论证，我们证明，仅作为Banach空间，这些预对偶都同构于$c_0$。然后，我们建立了一些理论来研究此类预对偶，表明它们源于$\Z$的某些半群紧化。这使我们能够产生大量其他例子，包括非等距的预对偶，以及不与$c_0$ Banach空间同构的预对偶。