亏格二上的平移曲面与曲线图

设 $S$ 为亏格二的（拓扑）紧闭曲面。我们对每个平移曲面 $(X,\omega) \in \mathcal{H}(2)\sqcup\mathcal{H}(1,1)$ 关联曲线图 $S$ 的一个子图 $\hat{\mathcal{C}}_{\rm cyl}$。该子图的顶点是曲线的自由同伦类，这些曲线可由 $X$ 上一条简单闭测地线，或两条平行鞍形连接（满足某些附加性质）的拼接来表示。根据定义，子图 $\hat{\mathcal{C}}_{\rm cyl}$ 是 $\mathrm{GL}^+(2,\mathbb{R})$-不变的。因此，它可视为相应 Teichm\"uller 圆盘在曲线图中的像。我们将证明 $\hat{\mathcal{C}}_{\rm cyl}$ 始终连通且具有无限直径。$(X,\omega)$ 的仿射自同构群 ${\rm Aff}^+(X,\omega)$ 自然保持 $\hat{\mathcal{C}}_{\rm cyl}$，我们证明 ${\rm Aff}^+(X,\omega)$ 恰好是 ${\rm Mod}(S)$ 中 $\hat{\mathcal{C}}_{\rm cyl}$ 的稳定子。我们还证明，若 $(X,\omega)$ 在 Calta 意义下完全周期，则 $\hat{\mathcal{C}}_{\rm cyl}$ 是 Gromov 双曲的。当 $(X,\omega)$ 是 $\mathcal{H}(2)$ 中的 Veech 曲面时，$\hat{\mathcal{C}}_{\rm cyl}$ 模 ${\rm Aff}^+(X,\omega)$ 的商与 McMullen 的原型密切相关。我们最后证明，该商图具有有限个顶点当且仅当 $(X,\omega)$ 在两种层 $\mathcal{H}(2)$ 和 $\mathcal{H}(1,1)$ 中均为 Veech 曲面。