曲线复形与 $S\times \mathbb{R}$ 中的不可压缩曲面

已定义了多种以曲面 $S$ 上的多重曲线为顶点的曲线复形，例如 [3]、[4] 和 [8]。在 [7] 中定义的同调曲线复形 $\mathcal{HC}(S,\alpha)$ 便是这样一种复形，其顶点对应于非平凡整同调类 $\alpha$ 中的多重曲线。给定对应于 $\mathcal{HC}(S,\alpha)$ 中顶点的两条多重曲线 $m_1$ 和 $m_2$，[8] 中证明了连接这些顶点的 $\mathcal{HC}(S,\alpha)$ 中的一条路径表示 $S\times \mathbb{R}$ 中的一个曲面，并得到了构造此类最小亏格曲面的一个简单算法。本文将通过 Morse 理论论证证明：$S\times \mathbb{R}$ 中所有边界曲线同伦于 $m_{2}-m_1$ 的嵌入可定向不可压缩曲面，均同伦于以此方式构造的曲面。这一结果被用来将 $\mathcal{HC}(S,\alpha)$ 中两顶点间的距离与 $S\times \mathbb{R}$ 中相应链环的 Seifert 亏格联系起来。