同调类中的超曲面复形

对于紧致有向光滑 $n$-流形 $M$ 与余维数-$1$ 同调类 $\phi \in \operatorname{H}_{n-1}(M, \partial M)$，我们研究一个关联 $M$ 中表示 $\phi$ 的恰当嵌入超曲面的单纯复形 $\mathcal{S}^\dagger(M, \phi)$。其定义类似于其他经典复形，如曲面的曲线复形或纽结的 Kakimizu 复形，不同之处在于超曲面不取至同痕。我们证明 $\mathcal{S}^\dagger(M, \phi)$ 在每个维数 $n$ 下均连通且单连通。我们还展示了适配于 $3$ 维情形的类似复形 $\mathcal{T}^\dagger(M, \phi)$ 的连通性，其中仅考虑实现 Thurston 范数的曲面。这些连通性结果被迁移至超曲面取至同痕的复形 $\mathcal{S}(M, \phi), \mathcal{T}(M, \phi)$，且对 $n=2$ 单连通性结果也一并成立。我们也简要讨论了向 Turaev 所研究情形的推广，其中用 $2$-复形中的正则图表示 $1$ 维上同调类。我们以两个应用作结：给出了有理同调球中固定纽结的所有 Seifert 曲面均管等价的另一证明，并利用 $\mathcal{T}^\dagger(M, \phi)$ 的连通性定义了不可约且边界不可约有向紧致连通 $3$-流形（边界为空或环面）中 $2$ 维同调类的一个新 $\ell^2$-不变量。