曲线图的模型论

本文中我们建立了模型论、几何拓扑与几何群论之间的桥梁。特别地，我们从模型论的角度研究 Ivanov 元猜想，更广泛地，我们试图回答一般性问题：为何曲面的曲线图在曲面与映射类群的研究中扮演如此核心的角色？更具体地，我们考虑有限型曲面 $\Sigma$ 及其曲线图 $\mathcal C(\Sigma)$，并研究其在图论语言中的一阶理论。关键在于，$\mathcal C(\Sigma)$ 与称为曲面映射类群增广 Cayley 图的某一对象互为可解释（bi-interpretable）。我们利用该可解释性证明曲线图的理论是 $\omega$--稳定的，计算其 Morley 秩，并表明其相对于 $\forall\exists$--公式类具有量词消去。我们还表明许多自然与曲面相关的复形可在 $\mathcal C(\Sigma)$ 中被解释。这表明这些复形均为 $\omega$--稳定的，且对其 Morley 秩有某些先验界。我们能够利用 Morley 秩证明各种复形不与曲线图互为可解释。作为量词消去的结果，我们表明代数相交数在曲线图的一阶理论中不可定义。最后，我们证明曲面的曲线图具有我们称为解释刚性（interpretation rigidity）的新现象。即，若曲面 $\Sigma_1$ 与 $\Sigma_2$ 的曲线图互为可解释，则 $\Sigma_1$ 与 $\Sigma_2$ 彼此同胚。在此过程中，获得了众多技术性结果。