将线丛上的度量变换为Okounkov体上的凸函数

设$L$是复射影流形$X$上的大全纯线丛。我们展示了如何将$L$上的任意连续度量$\psi$关联到$L$的Okounkov体上的一个凸函数。我们称其为$\psi$的切比雪夫变换，记作$c[\psi]$。我们的主要定理指出，关于两个度量的$L$的度量体积之差（由Berman-Boucksom引入的概念）等于Okounkov体上度量切比雪夫变换之差的积分。当度量具有正曲率时，度量体积与Monge-Ampère能量一致，后者是Kähler-Einstein几何和Arakelov几何中著名的泛函。我们证明这可以看作是toric流形上不变度量的切比雪夫常数和Legendre变换的经典结果的推广。作为应用，我们证明了度量体积在大度量$\mathbb{R}$-除子锥中的可微性。这推广了Boucksom-Favre-Jonsson关于大$\mathbb{R}$-除子通常体积可微性的结果，以及Berman-Boucksom关于底层线丛固定时度量体积可微性的结果。