关于凸体的轴对称性

对于二维凸体，Kovner-Besicovitch 对称性度量定义为该凸体内部所含最大中心对称体与原凸体的体积比。一个经典结果表明，每个凸体的 Kovner-Besicovitch 度量至少为 $2/3$，且对三角形等于 $2/3$。Lassak 证明了另一种对称性度量，即关于一条直线的对称性（轴向性），对每个凸体其值至少为 $2/3$。然而，已知凸体的轴向性最小值约为 $0.81584$，由一个凸四边形达到。我们证明了每个平面凸体的轴向性至少为 $\frac{2}{41}(10 + 3 \sqrt{2}) \approx 0.69476$，从而确立了其与中心对称度量的分离。此外，我们找到了一族轴向性趋近于 $\frac{1}{3}(\sqrt{2}+1) \approx 0.80474$ 的凸四边形。我们还建立了平面凸体轴向对称的一种“折叠”度量的改进界。最后，我们建立了轴向性向高维凸体推广的改进界。