超越性 Morse 不等式与广义 Okounkov 体

本文的主要目标是为 Kähler 流形上的任意伪有效 (1,1)-类 $\alpha$ 构造“算术 Okounkov 体”。首先，利用 Boucksom 关于紧 Kähler 流形上伪有效 (1,1)-类的除子 Zariski 分解，我们证明了在修正 nef 锥与 nef 锥重合的 Kähler 流形（包括 Kähler 曲面）上，大类的体积具有可微性。随后，我们应用可微性结果证明了这类特定 Kähler 流形的 Demailly 超越性 Morse 不等式。在第二部分，我们通过正流为固定旗标下的任意大类 $\alpha$ 构造凸体 $\Delta(\alpha)$，并证明当 $\alpha\in {\rm NS}\_{\mathbb{R}}(X)$ 时，这个新定义的凸体与 Okounkov 体重合；此类凸集 $\Delta(\alpha)$ 将被称为广义 Okounkov 体。作为一个应用，我们证明了 Okounkov 体内部的任何有理点都是“赋值的”。接下来，我们给出了曲面上广义 Okounkov 体的完整刻画，并表明广义 Okounkov 体的行为与原始 Okounkov 体非常相似。通过可微性公式，我们可以将 $\Delta(\alpha)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 中的标准欧几里得体积与 Boucksom 定义的大类 $\alpha$ 的体积联系起来；这解决了 Lazarsfeld 在曲面情况下提出的一个问题。最后，我们研究了大锥边界上广义 Okounkov 体的行为，这些行为由数值维数刻画。