平坦 Lagrangian 浸入与 Egoroff 网的变换

我们将一个自然的 $\lambda$-族 ($\lambda \in \R \setminus \{0\}$) 的 $\C^n$ 中具有非退化法丛的平坦 Lagrangian 浸入与任一给定浸入相联系。我们证明此类浸入的结构方程容许与对称空间 $\frac{\U(n) \ltimes \C^n}{\OO(n) \ltimes \R^n}$ 关联的一阶可积系统相同的 Lax 对。一个有趣的观察是当 $\lambda \to 0$ 时该族退化为 $\R^n$ 上的 Egoroff 网。我们通过辨识有理环路群生成元并计算其 dressing 作用,在该类浸入上构造了有理环路群的作用。具有一个单极点的生成元的作用给出几何 Ribaucour 变换,我们给出了此类变换的可换公式。具有两个极点的生成元的作用以及平移子群中有理环路的作用产生新的变换。对于 $\C P^{n-1}$ 中平坦 Lagrangian 子流形与 $\p$-不变的 Egoroff 网的相应结果通过球限制与 Hopf 纤维化自然得出。