由乘积的指数生成的域的超越次数

设 $\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_m) \in \R^m, \kappa=(\kappa_1,\ldots,\kappa_n) \in \R^n$ 为两组在 $\Q$ 上各自线性无关的实数元组，$T$ 为由 $\{\exp(\theta_i \kappa_j) | i=1,\ldots,m, \; j=1,\ldots,n \}$ 在 $\Q$ 上生成的域的超越次数。关于 $T \geq \frac{mn}{m+n} -1$ 的估计已被提出一段时间，但此前只能在 $\theta$ 和 $\kappa$ 的附加假设下予以证明。本文证明了对 $T$ 的一个较弱估计，同时将这一强估计归约为一个关于分裂环面子簇与子群相交的著名猜想。