来自外空间的 $SL_2(\mathbb{C})$ 自由群特征簇的环面几何

Culler 和 Vogtmann 定义了一个称为外空间 (outer space) 的单纯空间 $O(g)$，用于研究自由群 $F_g$ 的外自同构群。利用表示论方法，我们将 $O(g)$ 嵌入到 $\mathcal{X}(F_g, SL_2(\mathbb{C}))$ 的解析化空间中，其中 $\mathcal{X}(F_g, SL_2(\mathbb{C}))$ 是 $F_g$ 的 $SL_2(\mathbb{C})$ 特征簇，从而重新证明了 Morgan 和 Shalen 的结果。接着，我们表明包含在 $O(g)$ 最大胞腔中的每个点 $v$ 都定义了 $\mathcal{X}(F_g, SL_2(\mathbb{C}))$ 到环面簇 $X(P_{\Gamma})$ 的一个平坦退化。我们通过证明存在一个满射、连续且 proper 的映射 $\Xi_v: \mathcal{X}(F_g, SL_2(\mathbb{C})) \to X(v)$，从拓扑上联系了 $\mathcal{X}(F_g, SL_2(\mathbb{C}))$ 和 $X(v)$。随后，我们表明关于 $\mathcal{X}(F_g, SL_2(\mathbb{C}))$ 和 $X(v)$ 上的自然辛结构，该映射在 $\mathcal{X}(F_g, SL_2(\mathbb{C}))$ 的一个稠密开子集上是辛同胚。通过这种方式，我们为 $O(g)$ 最大胞腔中的每个点在 $\mathcal{X}(F_g, SL_2(\mathbb{C}))$ 中构造了一个可积哈密顿系统，并表明每个 $v$ 定义了 $\mathcal{X}(F_g, SL_2(\mathbb{C}))$ 的一个拓扑分解，该分解源于 $X(v)$ 按其环面轨道进行的分解。最后，我们表明源自 $O(g)$ 中最大胞腔闭包的赋值均产生为基于 $\mathcal{X}(F_g, SL_2(\mathbb{C}))$ 相关射影紧化构建的除子赋值。