光滑射影簇的环面退化与辛几何

设 $X$ 为嵌入于 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{N}$ 中的 $n$ 维光滑复射影簇。我们构造了一个在 $\mathbb{C}$ 上的光滑族 $\mathcal{X}$，其嵌入为 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{N} \times \mathbb{C}$，其一般纤维为 $X$，特殊纤维为通过单项式嵌入置于 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{N}$ 中的环面 $(\mathbb{C}^*)^n$。我们利用此构造证明：若 $\omega$ 为 $X$ 上的一个整凯勒形式，则对任意 $\epsilon > 0$，存在开子集 $U_\epsilon \subset X$，使得 $\mathrm{vol}(X \setminus U_\epsilon) < \epsilon$，且 $U_\epsilon$ 与配备（有理）环面凯勒形式的 $(\mathbb{C}^*)^n$ 辛同构。作为应用，我们获得了 $(X, \omega)$ 的格罗莫夫宽度的下界，用其关联的牛顿-奥库恩科夫体表示。我们还证明：若 $\omega$ 位于非常丰沛线丛 $L$ 的类 $c_1(L)$ 中，则 $(X, \omega)$ 存在由 $d$ 个等球组成的完整辛填充，其中 $d$ 为 $(X, L)$ 的次数。