通过极化自同态刻画 Toric 簇

设 $X$ 为正规射影簇，$f:X\to X$ 为非同构的极化自同态。我们给出了 $X$ 为 toric 簇的两个刻画。首先我们证明，若 $X$ 是 $\mathbb{Q}$-因子分解的，并且对某个线性代数群 $G$ 是 $G$-几乎齐次的且 $f$ 是 $G$-等变的，则 $X$ 是 toric 簇。接下来我们给出一个几何刻画：若 $X$ 是 Fano 型的且在余维数 2 处光滑，并且存在一个 $f^{-1}$-不变约化除子 $D$ 使得 $f|_{X\backslash D}$ 是拟 étale 的且 $K_X+D$ 是 $\mathbb{Q}$-Cartier 的，则 $X$ 容许一个拟 etale 覆盖 $\widetilde{X}$ 使得 $\widetilde{X}$ 是 toric 簇且 $f$ 提升到 $\widetilde{X}$。特别地，若进一步假设 $X$ 是光滑的，则 $X$ 是 toric 簇。