可积系统、环面退化与Okounkov体

设X是一个光滑复射影簇，维数为n，配备一个非常丰沛的厄米线丛L。在论文的第一部分，我们证明如果存在X的一个环面退化满足一些自然假设（这些假设在许多情况下成立），那么X上存在一个辛几何意义上的完全可积系统。更精确地，我们在X上构造一组实值函数H_1,...,H_n，它们在X上连续，在X的一个开稠子集U上光滑，并且在U上两两泊松交换。此外，我们证明在许多情况下，我们可以构造可积系统使得函数H_1,...,H_n在U上生成一个哈密顿环面作用。在第二部分，我们证明Newton-Okounkov体理论中出现的环面退化满足第一部分的所有假设。在这种情况下，“矩映射”μ=(H_1,...,H_n): X→R^n的像正是与X的齐次坐标环R以及R上的一个适当选择的赋值v相关联的Okounkov体Δ=Δ(R,v)。我们的主要技术工具来自代数几何、微分（凯勒）几何和分析。具体地，我们使用梯度-哈密顿向量场，以及实值解析函数的著名Lojasiewicz梯度不等式的一个微妙推广。由于我们的构造对一大类射影簇X有效，本文提供了可积系统的新例子的大量来源。我们讨论了具体例子，包括椭圆曲线、任意连通复约化群的旗簇、球簇和权簇。