Newton-Okounkov 体与正规环面退化

Anderson 证明了在 Newton-Okounkov 体 $\Delta_{Y_\bullet}(D)$ 的构造中，值半群 $\Gamma_{Y_\bullet}(D)$ 的有限生成性可诱导相应簇 $X$ 到某个环面簇 $X_0$ 的环面退化。在此情形下，$X_0$ 的规范化对应于有理多面体 $\Delta_{Y_\bullet}(D)$ 的正规环面簇。由于 $X_0$ 一般不正规，这种对应相当隐式。本文通过比较 Hilbert 多项式与 Ehrhart 多项式，研究保证 $X_0$ 正规的条件。对于 del Pezzo 曲面，这将得到一个算法，对给定除子 $D$ 输出一个旗 $Y_\bullet$，使得所讨论的值半群确实是正规的。此外，我们在 del Pezzo 曲面及某些特定的弱 del Pezzo 曲面上找到旗，可一次性对所有可能除子诱导正规环面退化。我们将证明在此情形下全局值半群 $\Gamma_{Y_\bullet}(X)$ 是有限生成且正规的。