局部域上同调上的拓扑

算术对偶定理在局部域$k$上证明时，若$\mathrm{char} k > 0$则需精细处理。此时证明常利用交换有限型$k$-群概形$G$的上同调群$H^n(k, G)$所携带的拓扑。这些用Čech上同调定义的“Čech拓扑”因其基本性质（如长正合序列中连接映射的连续性）缺乏证明而不实用。我们提出另一种拓扑化$H^n(k, G)$的方法：在关键情形$n = 1$时，将$H^1(k, G)$等同于分类叠$\mathbf{B} G$的$k$-点群胚的同构类集合，并引用Moret-Bailly的局部有限型$k$-代数叠的$k$-点拓扑化的一般方法。几何论证表明这些“分类叠拓扑”具有Čech拓扑所期望的性质。以此关键输入，我们证明Čech拓扑与分类叠拓扑实际上一致。从而Čech拓扑的期望性质得以成立，简化了其他地方的若干算术对偶证明。