数据与图的 Grothendieck 拓扑与层理论：基于 Cech 闭包空间的方法

我们开启了 Cech 闭包空间上层的研究，为应用中感兴趣的许多主要空间类别提供了一种新的、统一的层论方法：拓扑空间、有限单纯复形（视为 $T_0$ 拓扑空间）、图与有向图（均视为闭包空间）、箭图（视为一对闭包空间），以及带有特权尺度的度量空间（后者在拓扑数据分析中被广泛使用）。我们的构造通过在 $(X,c_X)$ 的具有非空 $c_X$-内部的子空间有限交范畴 $\mathcal{M}_{c_X}$ 上构造 Grothendieck 拓扑来进行，这是拓扑空间中开集范畴 $\mathcal{O}(X,\tau)$ 向闭包空间的自然推广。我们继续在 $\mathcal{M}_{c_X}$ 上构造层与 Cech 上同调，随后我们识别出由图诱导的具有非平凡层上同调（特别是在二维中）的非拓扑闭包空间的例子。