Grothendieck拓扑中的上同调与布尔复杂性的下界

本文的动机源于诸如 P vs. NP 等问题的提问以及其他布尔复杂性理论中的问题。我们描述了一种用上同调来攻击此类问题的方法，并且我们表明使用 Grothendieck 拓扑以及 Grothendieck 学派的其他思想为这样的攻击带来了新的希望。我们关注电路深度复杂性，并且仅考虑有限拓扑空间或基于有限范畴的 Grothendieck 拓扑；因此，我们不使用代数几何或流形。给定 Grothendieck 拓扑上的两个层，它们的“上同调复杂性”是其 Ext 群的维数之和。我们寻求用 Grothendieck 拓扑上层的上同调复杂性来建模布尔函数的深度复杂性。我们提出，使用“虚拟零扩张”，两个布尔函数的逻辑与的上同调复杂性将以其各自函数的上同调复杂性为界。我们提出，使用对偶理论，一个函数的逻辑非的上同调复杂性将等于原函数的上同调复杂性。我们解释了这些方法并表明它们在拉回和基变换下是稳定的。如何实现与和否定界同时成立以产生有意义的深度下界是正在进行的工作的主题。