偏序集上的 Grothendieck 拓扑

我们研究了由偏序集 $\P$ 的某个子集生成的 $\P$ 上的 Grothendieck 拓扑（在层论意义下）。我们证明，当且仅当 $\P$ 是 Artinian 时，此类 Grothendieck 拓扑穷尽了所有可能性。若 $\P$ 不是 Artinian，则 $\P$ 上存在其他不由 $\P$ 的子集生成的 Grothendieck 拓扑族，但即使是这些拓扑也与由子集生成的 Grothendieck 拓扑相关。此外，我们研究了 Grothendieck 拓扑的几种等价概念，并利用 Comparison Lemma 的偏序集版本（即回到 Grothendieck 等人 \cite{SGA4} 的称为 Comparison Lemma 的层论结果），计算了相对于我们所发现的大多数 Grothendieck 拓扑的层。