$2d~\mathrm{CP}^1$ 或 $\mathrm{O}(3)$ 非线性 $\sigma$ 模型的拓扑磁化率：发散与否？

基于微扰计算，预期 $2d$ $\mathrm{CP}^{N-1}$ 模型的拓扑磁化率会在 $N \to 2$ 的极限下出现发散，此时这些模型退化为众所周知的非线性 $\mathrm{O}(3)$ $\sigma$-模型。该发散源于任意小尺寸瞬子的主导效应，而其在数值格点模拟中的探测 notoriously 困难，因为它关于格点间距是对数的。我们从不同角度研究该问题，考察当体积在无量纲格点单位下固定时模型的行为，此时微扰预言转化为更易检验的行为。在针对 $N = 3$ 和 $4$ 测试该策略后，我们将其应用于 $N = 2$，同时采用多重正则算法以克服渐近小格点上拓扑涨落稀少的问题。我们的最终结果通过纯粹非微扰方法完全确认了 $2d$ $\mathrm{CP}^1$ 模型拓扑磁化率的发散。