容许自由群作用的空间的拓扑性质

1992年，David Wright证明了一个关于哪些可缩开流形是覆盖空间的非凡定理。他证明了，如果一个一端开流形$M$具有在无穷远处是pro-单一态射的基本群，该群非pro-平凡且非稳定$\mathbb{Z}$，那么$M$不覆盖任何流形（除了自身）。在非流形情形下，Wright的方法表明，当一个一端、单连通、局部紧致ANR $X$在无穷远处具有pro-单一态射的基本群，并且容许$\mathbb{Z}$通过覆盖变换作用时，则$X$在无穷远处的基群（在pro-同构意义下）是有限生成自由群的逆向序列。我们改进了后一个结果，证明了$X$在无穷远处必须具有稳定的有限生成自由基本群。简单的例子表明，任何有限秩的自由群都是可能的。我们还证明了，如果$X$（如上所述）容许$\mathbb{Z}+\mathbb{Z}$通过覆盖变换的非余紧作用，则$X$在无穷远处是单连通的。推论：每个包含无限阶元素的有限表示一端群$G$恰好满足以下条件之一：1) $G$在无穷远处是单连通的；2) $G$实际上是曲面群；3) $G$在无穷远处的基群不是pro-单一态射的。我们的方法也为Wright的开流形定理提供了一个快速的新证明。