beta-ensemble 模型的拓扑展开与扇区方法中的量子代数几何

我们类似于为厄米矩阵 $\beta=1$ 找到的解，求解了 $\beta$-ensemble 模型的圈方程。对于 $\beta=1$，该解使用方程 $y^2=U(x)$ 的代数谱曲线表示。对于任意 $\beta$，谱曲线转化为薛定谔方程 $((\hbar\partial)^2-U(x))\psi(x)=0$，其中 $\hbar\propto (\sqrt\beta-1/\sqrt\beta)/N$。本文与姊妹论文 I 类似，特别是代数求解该问题特有的所有主要成分保持不变，但在这里我们提出了使用预解式的扇区定义来寻找圈方程解的第二种方法。虽然在技术上更为复杂，但它允许一致地定义所获得的量子代数曲线（形式为 $y^2-U(x)$ 的 D 模，其中 $[y,x]=\hbar$）的 B 圈结构，并在任意 $\hbar$ 下的 $1/N^2$ 展开中显式构造关联函数及对应的辛不变量 $F_h$ 或自由能项。“平坦”坐标集包含势时间 $t_k$ 和占据数 $\widetilde{\epsilon}_\alpha$。我们定义并研究了 A 圈和 B 圈、第一、第二和第三类形式以及 Riemann 双线性恒等式的性质。我们利用这些恒等式显式地求出了 $\mathcal F_0$ 仅依赖于 $\widetilde{\epsilon}_\alpha$ 的奇异部分。