拓扑数据分析：聆听鼓与钟的形状

Mark Kac 在 1966 年提出了一个著名的问题，题为《人能听到鼓的形状吗？》，这是一个在过去六十年里一直吸引着数学家，并对建筑声学、音频取证、模式识别、放射学和成像科学等许多其他领域都很重要的谱几何问题。一个相关的问题是如何听到鼓的形状。我们表明，答案早在公元前 475-433 年的中国 65 件曾侯乙编钟上就已给出。这套编钟的尺寸和重量逐渐变化，以实现旋律、音程和律制。同样的设计原理被用于许多其他乐器，如木琴、排箫、钢琴等。我们揭示了在许多乐器的递进模式与拓扑数据分析 (TDA) 中的过滤（或谱序列）之间存在着一种迷人的联系。我们认为，过滤诱导的演化 de Rham-Hodge 理论为乐器提供了一个新的数学基础。本文简要讨论了其离散对应物，即持久拉普拉斯算子以及许多其他持久拓扑拉普拉斯算子，包括持久层拉普拉斯算子和持久路径拉普拉斯算子。