你能听出自己在流形上的位置吗？

我们引入对 Kac 问题“能否听出鼓的形状？”的一个变体。不同于试图通过其 Laplace–Beltrami 谱来辨识紧流形及其度量，我们询问是否可能由其点态计数函数 $$N_x(\lambda) = \sum_{\lambda_j \leq \lambda} |e_j(x)|^2,$$ 唯一地（模对称）辨识流形上的点 $x$，其中 $\Delta_g e_j = -\lambda_j^2 e_j$ 且 $e_j$ 构成 $L^2(M)$ 的一组标准正交基。该问题有若干自然的物理解释，其中两个是声学的：1. 你被置于一个熟悉的房间中任意位置且闭着眼睛。能否通过拍一次手并聆听随之而来的回声与混响来辨识自己在房间中的位置？2. 若一个已知形状的鼓在某未知点被敲击，能否通过聆听鼓所发声的音质来确定该点？本文的主要结果对一类泛化度量给出了该问题的肯定回答。我们还用多种简单例子探究该问题，并沿途指出可从点态计数函数 $N_x$ 中提取的有用几何不变量。