通过敲击鼓面来辨认鼓的形状

我们研究了一个Kac的问题变体：“如果允许自行获取额外信息，能否通过听鼓的声音来辨认鼓的形状？”具体而言，我们允许自己在流形上的每个点处“听到”局部Weyl计数函数，询问这是否足以唯一恢复黳几何度量。这等价于问：如果允许在鼓的任何地方敲击鼓，能否确定鼓的形状？我们证明，只要拉普拉斯-贝尔特拉米谱简单，此问题的答案就是“是”。我们还提供了一个反例，说明这一假设是必要的。